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Ⅰ. 데이터 과학의 이해9차시

나이가 다른데
같은 값에 판 연금

누가 이득을 봤나

1693년 영국 정부는 전쟁 자금을 모으려 평생 연금을 팔았습니다. 값은 누구에게나 같은 '7년 치' — 사는 사람의 나이를 묻지 않았어요. 같은 해, 혜성으로 이름난 천문학자 핼리가 한 도시의 출생·사망 기록으로 나이별 생존표를 만들어 그 값이 누구에게 유리했는지 계산합니다. 그 계산을 오늘 우리가 다시 해 보고, 데이터로 문제를 푸는 일을 여섯 칸으로 읽는 법을 손에 넣습니다.

  • [12데과01-04]
  • 50분네 정거장
  • 오늘의 틀사례 분석 여섯 칸
  • 자료핼리(1693) 생존표 84행 · 브레슬라우 시민 33,893명
Ⅰ 단원 지도9 / 9차시
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← 8 산 위에서 잰 숫자 하나가Ⅱ-1 1,600명에게 물어도 →

학습 목표

  1. 개념에서

    생존표 → 생존 확률 → 공정한 값으로 이어지는 세 걸음을 설명하고, 값이 나이마다 달라지는 까닭을 말할 수 있다.

  2. 손으로

    핼리의 표를 검산하고 파이썬으로 나이별 값과 '나라가 이득인 첫 나이'를 구해, 가정(이자)을 흔들어 결론의 폭을 잴 수 있다.

  3. 확인에서

    핼리 사례를 여섯 칸으로 분석하고, 같은 칸으로 내 진로의 데이터 문제를 설계할 수 있다.

1
여는 장면 · 5분

나이를 묻지 않는 창구

1693년 런던. 전쟁 자금이 급한 정부가 창구를 하나 엽니다. 한 번에 목돈을 내면 죽을 때까지 해마다 정해진 돈을 돌려주는 평생 연금입니다. 값은 '7년 치' — 해마다 받을 돈의 7배를 한 번에 내면 된다는 뜻이에요. 창구에는 나이를 묻는 칸이 없었습니다.

왜 하필 7이었을까요? 이 연금은 낸 돈에 해마다 14%를 돌려주는 국채였습니다. 1 ÷ 0.14 가 약 7이니 '7년 치'는 연 14%를 달리 말한 것이에요 — 이자율 하나만 정하면 값이 나오는 셈법이라, 나이가 들어갈 자리가 처음부터 없었습니다.

같은 해, 천문학자 에드먼드 핼리가 왕립학회에 글 한 편을 냅니다. 브레슬라우(지금의 폴란드 브로츠와프)의 출생·사망 기록으로 나이마다 몇 명이 살아남는가를 표로 만들고, 그 표로 연금의 값을 처음으로 계산한 글이었어요. 그전까지 값은 어떻게 매겼을까요? 핼리 자신이 그 답을 한마디로 적어 두었습니다.

1693년 · 왕립학회 《철학회보》

“지금까지 연금의 값은 상상으로만 매겨져 왔다”

원문 “an imaginary Valuation” · 핼리, 「인류 사망률의 정도에 대한 추정」, 《철학회보》 17권 600쪽 — 수업을 위해 옮긴 번역입니다
표 1창구 앞에 선 네 사람해마다 1파운드씩 평생 받는 연금
사는 사람내는 값앞으로 몇 해를 더 사나공정한 값누가 이득
1살 아이 몫7.032.9년가려 둠가려 둠
20살7.033.6년가려 둠가려 둠
40살7.021.6년가려 둠가려 둠
70살7.06.7년가려 둠가려 둠

내는 값은 네 줄이 모두 같습니다. 다른 것은 앞으로 몇 해를 더 사나 한 칸뿐이에요 — 20살은 33.6년, 70살은 6.7년. 같은 값을 내고 받는 햇수가 다섯 배쯤 차이 난다면 그 값은 공평할까요? 자료: 핼리(1693) 생존표 84행으로 계산한 값 — 3정거장 코드 ②가 찍는 숫자와 같다. 표를 84살에서 끊었으므로 '몇 해를 더 사나'는 해를 다 채운 햇수다.

먼저 예측

공정한 값은 아직 가려 둡니다. 네 사람이 각각 몇 년 치를 내야 공평할지 한 문장으로 적어 보세요 — "어릴수록 비싸게"처럼요. 그리고 아래 빈 축 넷에 여러분이 생각한 값을 공책에 옮겨 그려 둡니다. 3정거장 실험실에서 여러분의 값판과 실제 값을 맞대어 봅니다.

1살
051015나라가 받은 값 71살에게 몇 년 치가 공정할까?
20살
051015나라가 받은 값 720살에게 몇 년 치가 공정할까?
40살
051015나라가 받은 값 740살에게 몇 년 치가 공정할까?
70살
051015나라가 받은 값 770살에게 몇 년 치가 공정할까?
체크포인트 1

네 사람에게 공평한 값을 한 문장으로 적고, 빈 축 넷에 내 값판을 그려 두었다 — 아직 답은 보지 않았다.

다음 정거장 · 개념 15분 →
2
개념 · 15분

생존표에서 값까지, 그리고 그 값을 읽는 여섯 칸

2-1한 값은 공평한가

"누구에게나 같은 값"은 공평하게 들립니다. 물건을 살 때는 실제로 그렇지요 — 같은 빵에 같은 값을 받으면 공평합니다. 그런데 연금은 물건이 아니라 약속이에요. 같은 값을 받아도 나라가 내주는 것은 사람마다 다릅니다. 오래 사는 사람에게는 오래 내줘야 하니까요.

그러니 값이 하나이면 어떤 사람에게는 싸고 어떤 사람에게는 비쌉니다. 그리고 값이 싼 사람만 창구에 옵니다. 싸다고 생각하는 사람은 사고, 비싸다고 생각하는 사람은 그냥 돌아가지요. 이렇게 한쪽만 골라 들어오는 일을 역선택이라고 부릅니다 — 파는 쪽이 고른 것이 아니라 사는 쪽이 스스로 골랐다는 뜻이에요.

2-2생존표 → 확률 → 값, 세 걸음

핼리가 한 일은 세 걸음입니다. ① 나이마다 몇 명이 살아 있는지 세고, ② 그 수의 비로 살아 있을 확률을 만들고, ③ 해마다 받을 1파운드에 그 확률과 오늘 값으로 되돌리는 할인을 곱해 모두 더합니다. 세 번째 걸음의 합이 곧 공정한 값이에요.

그림 1표에서 값까지 — 20살 한 사람을 따라가며주황 = 눈여겨볼 자리
① 표 — 1살 1,000명이 나이마다 몇 명 남나가로 나이(살) · 세로 살아 있는 사람(명)02505007501,00012040608434살 499명 — 절반 아래로20살 598명60살 242명84살까지 모두 33,893명 — 핼리는 이 합을 브레슬라우 시민 수로 읽었다.85살 이상 107명을 더하면 34,000명(원문에 인쇄된 도시 인구). ② 확률 → ③ 오늘 값 — 20살 한 사람가로 지금부터 몇 해 뒤0%50%100%10년 뒤 88.8%② 그때 살아 있을 확률0.00.51.00204064③ 확률 × 오늘 값(이자 6%)막대를 모두 더한 넓이가 곧 값 — 12.77년 치.나라가 받은 값은 7년 치였다. ① 표 — 1살 1,000명이 나이마다 몇 명 남나가로 나이(살) · 세로 살아 있는 사람(명)02505007501,00012040608434살 499명 — 절반 아래로20살 598명60살 242명84살까지 모두 33,893명 — 핼리는 이 합을브레슬라우 시민 수로 읽었다.85살 이상 107명을 더하면 34,000명(원문에 인쇄된 도시 인구). ② 확률 → ③ 오늘 값 — 20살 한 사람가로 지금부터 몇 해 뒤0%50%100%10년 뒤 88.8%② 그때 살아 있을 확률0.00.51.00204064③ 확률 × 오늘 값(이자 6%)막대를 모두 더한 넓이가 곧 값 — 12.77년 치.나라가 받은 값은 7년 치였다.

왼쪽 표에서 20살 598명과 30살 531명을 꺼내 나누면 오른쪽 위의 88.8%가 나옵니다. 오른쪽 아래 막대 하나가 'k년 뒤에 받을 1파운드의 오늘 값 × 그때 살아 있을 확률'이고, 그 막대를 모두 더한 넓이가 12.77년 치입니다. 핼리 자신도 같은 글에 “젊은 목숨은 보통 이자로 쳐도 13년 치가 넘는 값”이라고 적었어요 — 나라가 받은 7년 치와 견주라고 그 자리에 적어 둔 문장입니다. 자료: Halley, E.(1693) 「인류 사망률의 정도에 대한 추정」, 《철학회보》 17권 600쪽의 생존표 84행(퍼블릭 도메인) — 나이별 사람 수는 3정거장 코드 ①이 읽는 파일과 같다. 이자 6%는 핼리가 같은 글 603쪽에서 쓴 값이고, ‘7년 치’(= 연 14% 국채)와 ‘13년 치가 넘는다’는 604쪽 문장이다.

Ⅰ-8 에서 가져옴숫자 하나가 규칙을 바꾸려면 먼저 그 숫자를 믿을 수 있어야 합니다. 킬링이 관측값을 보정하고 검산했듯, 오늘도 표를 쓰기 전에 표 자체를 검산합니다 — 3정거장 미션 ①이 그 일입니다.

2-3나이마다 갈라지는 값

세 걸음을 1살부터 84살까지 모두 밟으면 값 곡선이 하나 생깁니다. 곡선이 7년 치 선보다 위에 있으면 산 사람이 이득, 아래면 나라가 이득이에요. 두 선이 만나는 자리가 오늘의 분기점입니다.

그림 2값 곡선과 창구에 오는 사람이자 6% · 모형: 공정한 값 ≥ 내 값이면 산다
① 공정한 값은 나이마다 다르다가로 나이(살) · 세로 몇 년 치 값 · 이자 6%051015나라가 받은 값 7년 치 — 나이를 묻지 않는다10살 13.4420살 12.7770살 4.9763120408463살부터 공정한 값이 7년 치보다 싸진다 — 그 아래 나이는 모두 싸게 산다. ② 그래서 창구에 누가 오나기둥 하나 = 그 나이의 시민 수 · 모형: 공정한 값 ≥ 내 값이면 산다05001,000120408463살산다 31,532명 · 93.0%오지 않는다 2,361명싼 사람만 온다 — 나라가 받은 £220,724, 떠안은 약속 £365,166.약속 1파운드에 60펜스만 받은 셈이다. ① 공정한 값은 나이마다 다르다가로 나이(살) · 세로 몇 년 치 값 · 이자 6%051015나라가 받은 값 7년 치 — 나이를 묻지 않는다10살 13.4420살 12.7770살 4.9763120408463살부터 공정한 값이 7년 치보다 싸진다 —그 아래 나이는 모두 싸게 산다. ② 그래서 창구에 누가 오나기둥 하나 = 그 나이의 시민 수 · 모형: 공정한 값 ≥ 내 값이면 산다05001,000120408463살산다 31,532명 · 93.0%오지 않는다 2,361명싼 사람만 온다 — 나라가 받은 £220,724, 떠안은 약속 £365,166.약속 1파운드에 60펜스만 받은 셈이다.

곡선의 꼭대기는 10살 13.44년 치입니다 — 1살(10.28)보다 높아요. 갓난아기는 첫 몇 해를 넘기지 못할 확률이 커서 오래 받을 가능성이 오히려 낮기 때문입니다. 자료: 핼리(1693) 생존표로 계산 — 3정거장 코드 ③·실험실과 같은 값

20살 · 받은 값과 공정한 값
7.00나라가 받은 값
vs
12.77공정한 값(년 치)
받은 값20살 공정

5.77년 치를 깎아 준 셈이다.

1살 · 어릴수록 비싼가
10.281살(년 치)
인데
13.4410살(년 치)
1살10살

1살이 10살보다 싸다 — 첫 몇 해의 위험 때문.

10년 사이 · 60살에서 70살로
7.4660살(년 치)
→
4.9770살(년 치)
60살70살

늦게 살수록 받을 햇수가 짧다.

가정 하나 · 이자를 바꾸면
63이자 6%일 때 첫 나이
→
58~66이자 8%~4%
586366

결론이 가정 위에 서 있다.

자료: 위 네 쌍의 숫자는 모두 3정거장 코드 ③·④가 찍는 값이다(핼리 1693 생존표 · 이자 6%, 표를 84살에서 끊음).

2-4가정을 밝히고, 사례를 여섯 칸으로 읽는다

값 곡선은 이자 6%라는 가정 위에 서 있습니다. 이자가 높으면 먼 미래의 1파운드가 오늘로 보면 더 작아지니 값이 내려가고, 낮으면 올라가요. 이자를 4%·6%·8%로 바꾸면 '나라가 이득인 첫 나이'가 66 · 63 · 58살로 움직입니다. 답이 흔들린다고 계산이 틀린 것은 아닙니다 — 어느 가정에 얼마나 기대는지를 함께 내놓는 것이 이 일을 하는 사람의 몫이에요.

규칙답과 함께 가정을 적고, 가정과 함께 그 가정이 바뀌면 답이 움직이는 폭을 적는다.

이제 한 걸음 물러서서, 핼리가 한 일 전체를 여섯 칸으로 읽어 봅시다. 이 여섯 칸은 핼리에게만 쓰는 틀이 아니라 데이터로 문제를 푼 모든 사례에 쓰는 틀이고, 4정거장에서는 여러분 자신의 진로에 이 칸을 세웁니다. 첫 칸이 '데이터'가 아니라 결정이라는 점을 눈여겨보세요. 바꿀 결정이 없으면 아무리 예쁜 그림을 만들어도 사례가 아닙니다.

표 2데이터 기반 문제 해결 사례를 읽는 여섯 칸핼리(1693)를 채워 본 보기
칸무엇을 묻나핼리(1693)는
결정데이터로 무엇을 바꾸려 하나평생 연금의 값을 얼마로 매길까
데이터무엇을 어디에서 모았나브레슬라우의 출생·사망 기록 → 1살 1,000명 기준 생존표 84행
방법어떤 계산으로 답을 냈나생존표 → 생존 확률 → 할인해서 더하기
결과무엇을 알아냈나값은 나이마다 달라야 한다 — 20살 12.77 · 60살 7.46년 치
검증과 한계어떻게 확인했고 무엇을 못 하나같은 쪽 옆 표의 7년 묶음 합 12칸으로 검산 · 한 도시 · 몇 해치 · 이주 없음 가정 · 84살에서 끊음
오늘 이 일을 하는 직업지금은 누가 이 계산을 하나보험계리사 · 인구학자 · 연금 재정 분석가

이 여섯 칸은 4정거장 확인 문제 4·5에서 다시 씁니다 — 한 번은 핼리에게, 한 번은 여러분의 진로에.

체크포인트 2

값이 나이마다 갈라지는 까닭과, 그 값이 이자라는 가정 위에 서 있다는 것을 말할 수 있다. 이제 직접 계산해 확인한다.

다음 정거장 · 손으로 20분 →
3
손으로 · 20분

핼리의 계산을 다시 해 본다

1

표를 믿기 전에 — 핼리가 같은 쪽에 남긴 검산

3분

표의 첫 줄은 1살 1,000명입니다. 그 1,000명이 절반 아래로 처음 내려가는 나이는 몇 살쯤일까요? 숫자 하나를 짐작해 두고 실행하세요.

기본 코드 ①은 채워져 있습니다. 그대로 ▶ 실행해 생존 곡선과 검산 결과를 확인하세요. SIDE는 핼리가 본표 옆에 인쇄해 둔 7년씩 묶은 합입니다 — 표를 옮겨 적다 틀리면 여기서 걸립니다.

도전 코드 안의 # LIFE[79] = 50 줄에서 # 를 지우고 다시 실행하세요. 널리 쓰이는 디지털 전사본이 적어 놓은 값입니다. 옆 표 12칸 가운데 몇 칸이 어긋나나요? 어느 칸인가요?

탐구 검산이 없었다면 그 한 글자를 어떻게 알아챌 수 있었을까요? 여러분이 표를 하나 만들어 남긴다면, 받는 사람이 스스로 확인할 수 있는 무엇을 함께 남기겠습니까?

이 표를 쓰기 전에 나는 와 두 가지로 확인했다. 그래서 79살 칸의 값은 이 맞다.

확인 문제 4의 '검증과 한계' 칸에 적어 두기 →
2

수를 확률로 — 10년 뒤에도 살아 있을까

4분

60살이 70살까지 살 확률은 몇 %쯤일까요? 그리고 오늘의 한국과 견주면 어느 쪽이 얼마나 높을까요? 여는 장면에 적어 둔 내 예측도 함께 떠올려 보세요.

기본 빈칸 ①에 살아남은 수의 비를 채우고 ▶ 실행하세요. survive(x, n) 은 "x살인 사람이 n년 뒤에도 살아 있을 확률"입니다 — 표에서 두 칸을 꺼내 나누면 됩니다.

도전 [C]의 남은 은 확률을 모두 더한 값입니다. 확률을 더하면 왜 '앞으로 몇 해'가 되는지 한 줄로 설명해 보세요(힌트: 1년 뒤에 살아 있을 확률 0.9는 '0.9년을 더 살 것'과 같은 무게입니다).

탐구 브레슬라우 줄은 1살 1,000명에서, 한국 줄은 출생 10만 명에서 출발합니다. 출발점이 다르면 두 줄을 그대로 견줄 수 있을까요? 무엇이 달라지는지 적어 보세요.

"60살이 70살까지 살 확률 58.7%"는 에서 잰 값이다. 이 값을 오늘 한국에 그대로 쓰면 안 되는 까닭은 와 이다.

확인 문제 1에 적어 제출 →
3

공정한 값 — 20살에게 7년 치는 싼 값인가

5분

20살에게 '7년 치'는 싼 값일까요, 비싼 값일까요? 그리고 나라가 이득으로 돌아서는 나이는 몇 살쯤일까요? 여는 장면에서 그린 빈 축 넷을 다시 보고 짐작해 두세요.

기본 빈칸이 둘입니다. 빈칸 ②는 연금 식 전체가 아니라 'k년 뒤 1파운드의 오늘 값' 한 조각이고(바로 윗줄의 v 가 1년짜리 조각입니다), 빈칸 ③은 공정한 값이 7년 치보다 클 때 이득을 보는 쪽입니다.

도전 FIXED 를 11.12(공정한 값의 시민 평균)로 바꿔 다시 실행해 보세요. '누가 이득' 칸이 어느 나이부터 뒤집히나요? 평균으로 값을 매기면 나라는 본전일까요? 마지막 줄의 손해 금액을 실험실 장면 ②의 장부와 맞대어 보세요.

탐구 곡선의 꼭대기는 1살이 아니라 10살입니다. 갓난아기의 값이 오히려 싼 까닭을 표의 첫 다섯 줄(1,000 → 855 → 798 → 760 → 732명)로 설명해 보세요.

나라가 20살에게 7년 치로 파는 것이 손해인 까닭은 이다. 그래서 값은 에 따라 달라져야 한다.

확인 문제 2에 적어 제출 →
4

창구를 열어 본다 — 그리고 가정을 흔든다

8분

이자를 4%로 낮추면 '나라가 이득인 첫 나이'는 늦어질까요, 빨라질까요? 8%면요? 숫자 둘을 짐작해 두고 코드 ④를 돌린 뒤, 실험실에서 창구를 열어 봅니다.

기본 코드 ④는 채워져 있습니다. 그대로 ▶ 실행해 이자 셋의 결과를 표로 확인하세요.

도전 for rate in 줄에 0.03 과 0.10 을 더해 보세요. 첫 나이가 어디까지 움직이나요? 움직이는 폭을 한 줄로 적어 둡니다.

탐구 핼리는 보고서에 이자를 적었습니다. 만약 적지 않았다면 이 표를 읽는 사람은 무엇을 확정된 사실로 잘못 읽게 될까요?

이제 창구를 열어 봅니다. 값을 정하는 것은 나라지만, 사러 오는 것은 시민이에요. 장면 넷을 차례로 지나며 장부가 어떻게 달라지는지 봅니다. 도전 셋을 풀면 카드가 스스로 닫힙니다.

시뮬레이터

연금 창구 값판

값을 정하는 것은 나라, 사러 오는 것은 시민 — 같은 값판도 누가 오느냐로 장부가 뒤집힌다

  1. 1예측을 하나 고르면 창구 자물쇠가 풀린다
  2. 2창구를 열어 시민 기둥이 초록(산다)·주황(떠난다)으로 갈리는 것을 본다
  3. 3장면을 옮겨 값판을 고치고 장부를 다시 읽는다
장면
내 예측 — 고르면 잠긴다
① 1693년 한 값 — 7년 치예측을 고르면 창구가 열린다

모형 — 공정한 값이 내 값보다 싸지 않으면 산다고 가정했다. 1693년 구매자 명부는 남아 있지 않다.

어긋남 % = 나이마다 (그 나이 시민 수) × |내 값 − 공정한 값| 을 모두 더한 값. 1693년의 한 값 7년 치를 100%로 놓는다

나라 손익—파운드
산 시민—
산 비율—
받은 돈—
떠안은 약속—
어긋남100.0%
도전 1

장면 ③에서 1칸으로 — 값 하나만 움직여 어긋남을 42% 아래로 내려 보아라. 한 값으로는 어디가 끝인가?

도전 2

2칸으로 — 경계 하나를 얻었다. 어긋남 25% 아래로. 경계를 어디에 두어야 가장 많이 줄어드나?

도전 3

3칸으로 — 어긋남 17.5% 아래로. 곡선을 보지 않고 시민 기둥과 장부만으로 찾아보아라.

자료: 핼리(1693) 생존표 84행(나이별 시민 수, 합 33,893명)을 쪽 안에 실었다 — 코드 ①~④가 읽는 ../data/halley_1693.csv 와 같은 값이다. 공정한 값·장부·어긋남은 화면이 그 자리에서 계산하며, 코드 ③·④가 찍는 숫자와 같은 식이다.

이 값판은 이자 를 가정했다. 이자가 4~8% 사이라면 나라가 이득인 첫 나이는 살에서 살 사이로 움직인다. 그래서 보고서에는 답과 함께 를 적는다.

확인 문제 3에 적어 제출 →
체크포인트 3

표를 검산했고, 확률과 값을 직접 계산했고, 창구를 열어 누가 오는지 보았고, 가정을 흔들어 결론의 폭을 쟀다.

다음 정거장 · 정리·확인 10분 →
4
정리·확인 · 10분

오늘의 탐험 일지

  1. 찾은 것

    나이를 묻지 않는 한 값은 공평하지 않았다 — 공정한 값은 20살 12.77 · 70살 4.97년 치로 갈렸고, 분기점은 63살이었다.

  2. 도구의 한계

    표는 한 도시 · 몇 해치이고 84살에서 끊겨 있다. 같은 계산을 오늘 한국 생명표로 하면 답이 전혀 달라진다.

  3. 보고의 규칙

    답과 함께 가정을, 가정과 함께 그 폭을 적는다 — 이자 4~8%면 첫 나이가 58~66살로 움직인다.

✍️ 문제마다 답을 쓰고 제출하기를 누르세요. 제출하면 모범 답안이 열리고, 제출한 답은 선생님께 전달됩니다.

1. 코드 ②의 “60살 → 70살 58.7%”를 한 문장으로 풀어 쓰시오. 그리고 이 확률을 오늘 60살인 한국인에게 그대로 쓰면 안 되는 까닭을 두 가지 쓰시오.
📖 모범 답안

풀어 쓰면 “17세기 말 브레슬라우에서 60살까지 산 사람 가운데 58.7%가 70살까지 살았다.” 표의 두 칸(60살 242명 · 70살 142명)을 나눈 값이다.

까닭 ① 시대와 곳이 다르다. 의료·영양·위생이 달라져서, 한국 2024 생명표로는 출생 10만 명 가운데 80세까지 남자 64.4% · 여자 82.2%가 산다 — 브레슬라우는 1살 1,000명 가운데 80살까지 4.1%였다.

까닭 ② 표 자체의 한계다. 한 도시의 몇 해치 기록이고, 드나드는 사람이 없다고 가정했으며, 84살에서 끊겨 있다. 게다가 출발점이 다르다 — 브레슬라우는 1살에서, 한국 생명표는 출생에서 센다.

2. 코드 ③의 표를 근거로, 나라가 20살에게 7년 치로 연금을 파는 것이 손해인 까닭을 '공정한 값'이라는 말을 써서 설명하시오. 그리고 모두가 '싸면 산다'면 나라의 손해는 얼마였는지 쓰시오.
📖 모범 답안

20살의 공정한 값은 12.77년 치(이자 6%)인데 나라가 받은 값은 7년 치다. 오래 살아 오래 받을 사람에게 5.77년 치를 깎아 준 셈이다.

공정한 값이 7년 치보다 싸지는 것은 63살부터라, 그 아래 나이는 모두 사는 쪽이 이득이다. 모두 '싸면 산다'고 가정하면 1~62살 31,532명(93.0%)이 사서 나라는 £220,724를 받고 £365,166를 떠안는다 — 차이가 £144,442다(약속 1파운드에 60펜스만 받은 셈).

그래서 값은 물건 값처럼 하나로 매길 수 없고 나이마다 달리 매겨야 한다. 오늘 연금과 보험료가 나이마다 다른 까닭이 여기에 있다.

3. 코드 ④에서 이자에 따라 '나라가 이득인 첫 나이'가 66 · 63 · 58살로 움직였다. 핼리가 이 결과를 보고서로 낼 때 반드시 함께 적어야 할 것은 무엇이고, 왜 그런지 쓰시오.
📖 모범 답안

① 할인에 쓴 이자(가정). 핼리는 6%를 썼다. 이 숫자는 자료에서 나온 것이 아니라 계산하는 사람이 고른 것이다.

② 그 가정이 바뀌면 답이 움직이는 폭(민감도). 4~8% 사이면 첫 나이가 58~66살로 8살이나 움직인다. 폭을 적지 않으면 읽는 사람은 '63살'을 확정된 사실로 읽는다.

③ 표 자체의 한계와 검산했다는 사실. 한 도시·몇 해치이고 84살에서 끊었다는 것, 그리고 옆 표의 7년 묶음 합 12칸으로 표를 검산했다는 것. 한계를 적어야 다음 사람이 그 위에서 고쳐 쓸 수 있다.

4. 핼리 사례를 여섯 칸에 채우시오(표 2의 틀). 칸마다 한두 문장이면 됩니다.
칸핼리(1693)는
결정
데이터
방법
결과
검증과 한계
오늘의 직업
그리고 여섯 칸 가운데 '결정' 칸이 맨 앞에 오는 까닭을 한 줄로 덧붙이시오.
📖 모범 답안

결정 평생 연금의 값을 얼마로 매길까(나이를 물을까 말까). 데이터 브레슬라우의 출생·사망 기록 → 1살 1,000명 기준 생존표 84행. 방법 생존표 → 생존 확률 → 해마다 받을 1파운드에 확률과 이자 6% 할인을 곱해 더하기.

결과 값은 나이마다 달라야 한다 — 20살 12.77 · 60살 7.46 · 70살 4.97년 치이고, 7년 치보다 싸지는 것은 63살부터다. 검증과 한계 같은 쪽 옆 표의 7년 묶음 합 12칸으로 검산해 전사본의 79살 오류(50 → 49)를 걸렀다. 한 도시·몇 해치·이주 없음 가정·84살에서 끊음. 오늘의 직업 보험계리사 · 인구학자 · 연금 재정 분석가.

'결정'이 맨 앞인 까닭 — 바꿀 결정이 정해져야 어떤 데이터가 필요한지, 무엇과 견줘야 하는지, 어디까지 틀려도 되는지가 정해지기 때문이다. 결정이 없으면 아무리 자료를 많이 모아도 사례가 아니라 구경이다.

5. 같은 여섯 칸을 내 진로에 세워 보시오. 희망 분야를 하나 정하고 아래 표를 채웁니다.
칸내 진로에서는
희망 분야
결정 무엇을 바꾸려 하나
데이터 무엇을 어디서
이어야 할 다른 데이터 공통 속성은
비교 대상
위험 가정 · 치우침
그리고 친구가 '결정' 칸에 “데이터를 모은다”라고 적었습니다. 무엇이 빠졌다고 말해 주고, 어떻게 고치면 좋을지 예를 들어 쓰시오.
📖 모범 답안

채운 보기(체육 분야) — 결정: 이번 달 훈련량을 늘릴까 줄일까. 데이터: 선수별 주간 훈련 시간·부상 기록(팀 기록지). 이어야 할 데이터: 같은 기간 수면·컨디션 설문(공통 속성 = 선수 번호와 날짜). 비교 대상: 훈련량을 늘리지 않은 지난 시즌 같은 달. 위험: 부상 기록은 보고한 것만 남아 가벼운 부상이 빠진다.

친구에게 — "모은다"는 할 일이지 결정이 아니다. 결정은 데이터를 보고 무엇을 바꿀지다. 결정이 정해져야 어떤 데이터가 필요한지, 무엇과 견줘야 하는지, 어떤 치우침이 위험한지가 따라 정해진다.

고치는 예 — "데이터를 모은다" → "이번 달 훈련량을 늘릴지 줄일지 정한다", "설문을 한다" → "동아리 모집 시간을 점심으로 옮길지 정한다". 핼리의 결정도 '기록을 모은다'가 아니라 '연금 값을 얼마로 매길까'였다.

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표 뒤의 이야기 셋

런던 · 더블린 표가 못 한 것, 브레슬라우 표가 한 것런던더블린브레슬라우죽은 사람의 나이가 적혀 있나사는 사람이 몇 명인지 아나드나드는 사람이 적나브레슬라우가 남긴 숫자34,000명 — 도시 인구1,174명 — 해마다 죽은 사람84살 — 표의 마지막 나이세 조건이 다 맞는 표라야 나이별 생존 수를 셀 수 있다.
역사

왜 런던이 아니라 브레슬라우였나

런던과 더블린에도 주간 사망표가 있었습니다. 핼리는 그 표들이 세 가지 때문에 쓸 수 없다고 적었어요 — 죽은 사람의 나이가 적혀 있지 않고, 그 도시에 몇 명이 사는지 모르고, 드나드는 사람이 너무 많아 태어난 수와 죽은 수가 맞지 않는다는 것입니다.

브레슬라우는 셋을 모두 넘었습니다. 나이가 적힌 기록이 있었고, 인구가 34,000명쯤으로 헤아려졌고, 드나듦이 적어 태어난 수와 죽은 수(해마다 1,174명)가 균형을 이뤘어요. 오늘의 말로 하면 표본이 모집단을 대표하는가를 먼저 따진 것입니다 — 데이터를 고르는 일이 계산보다 먼저였습니다.

도해: 핼리가 원문에서 든 세 조건을 세 도시에 표로 옮겼다. 숫자는 원문의 값이다. · 출처: Halley, E. 「인류 사망률의 정도에 대한 추정」, 《철학회보》 17권(1693) 597·601·610쪽

첫 다섯 해가 평균을 끌어내린다100018552798376047325710669276808670966110명나이1살 1,000명 가운데 5살이 되기 전에 268명이 떠난다어디에서 세느냐에 따라 '몇 살까지'가 달라진다1살에서 세면앞으로 32.9년33.9살까지20살까지 산 사람은앞으로 33.6년53.6살까지옅은 칸 = 이미 산 햇수 · 진한 칸 = 앞으로 살 햇수. 둘을 더한 끝이 '몇 살까지'.
숫자 읽기

'그때 평균 수명 30살'이면 다들 30살에 죽었나

옛 시대의 '평균 수명'을 들으면 서른쯤에 다 죽었을 것 같지만, 실제로 일어난 일은 다릅니다. 브레슬라우 표에서 1살 1,000명 가운데 5살이 되기 전에 268명이 떠납니다. 이렇게 어린 나이의 죽음이 많으면 평균이 크게 끌어내려집니다.

그래서 '앞으로 몇 해를 더 사나'는 어디에서 세느냐에 따라 달라집니다. 1살에서 세면 32.9년(33.9살까지)인데, 20살까지 산 사람에게 다시 물으면 33.6년 — 53.6살까지입니다. 스무 해를 더 살고도 '앞으로'가 오히려 길어졌지요. 평균 하나가 분포를 숨기는 일은 Ⅱ 단원에서 다시 만납니다.

도해: 1~10살 생존 수 막대(1,000 → 661명)와, 1살·20살에서 센 남은 햇수 막대 둘. 숫자는 핼리(1693) 생존표로 계산한 값이다(표를 84살에서 끊음).

우리 4.97, 핼리 5.32 — 표를 어디서 끊었나051015120406070선 = 우리 계산(84살에서 끊음)점 = 핼리가 인쇄한 값나이우리핼리차1살10.2810.280.0020살12.7712.78-0.0140살10.5310.57-0.0460살7.467.60-0.1470살4.975.32-0.35나이가 많을수록 벌어진다 — 버린 꼬리가 그만큼 값이었다.
원문과 맞대기

우리 4.97, 핼리 5.32 — 어디서 끊었나

핼리는 같은 글에 다섯 살마다의 값을 직접 인쇄해 두었습니다. 우리 계산과 맞대어 보면 1살(10.28)과 10살(13.44)은 소수 둘째 자리까지 똑같습니다. 그런데 나이가 많아질수록 조금씩 벌어져 70살에서는 4.97 대 5.32가 됩니다.

까닭은 우리가 표를 84살에서 끊었기 때문입니다. 핼리의 본표는 84살까지지만 그는 그 너머의 107명까지 셈에 넣었어요. 젊은 사람에게는 먼 미래라 할인이 크게 먹어 차이가 거의 없지만, 70살에게는 바로 그 꼬리가 남은 삶의 거의 전부라서 차이가 커집니다. 어디서 끊을지도 가정입니다 — 그래서 우리는 그 사실을 표 아래에 적습니다.

핼리는 이 표를 만들어 두고 바로 다음 쪽에서 나라가 받는 값과 맞대어 봅니다 — 연 14%를 주는 국채는 “한 목숨에 7년 치”인데 “젊은 목숨은 보통 이자로 쳐도 13년 치가 넘는다”, “열 살짜리 목숨은 거의 13½년 치”라고 적었어요. 우리가 오늘 계산한 10살 13.44가 그 ‘거의 13½’입니다 — 333년 전 사람이 적어 둔 값과 우리 화면의 값이 맞는지를 이렇게 맞대어 볼 수 있습니다.

도해: 선은 우리 계산(84살에서 끊음), 점은 핼리가 인쇄한 값 15개다. · 출처: 같은 글 603쪽 'Value of Annuities for every Fifth Year of Age'(값 15칸) · 604쪽(연 14% · 7년 치 · 13년 치가 넘는다 · 13½) — 원문 PDF(Phil. Trans. 17권 196호, 1693, 퍼블릭 도메인)에서 읽었다.